Fem_Wilson非协调单元在PS4的推导
Ps4单元的位移自由度:
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节点自由度:ux,uy
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单元自由度:\(\delta^e=[u1x,u1y,....u4x,u4y]^T\)
但是在承受弯曲载荷的时候,存在shear locking的问题。Wilson非协调单元通过在每个坐标方向上增加2个内部自由度,解决该问题:
位移插值
几何插值
单元形函数
应变-位移关系
应力-应变关系
雅可比矩阵计算\(J(\xi,\eta)\)
最小势能原理推到单元刚度矩阵
以下是PS4单元的刚度矩阵推导:
加入wilson内部自由度后,由于内部自由度不会影响外力功,因此只有修改单元刚度矩阵部分:
进一步,将内部自由度凝聚:
所以,Wilson非协调单元的刚度矩阵为:
高斯积分计算单元刚度矩阵
体积力等效为节点力
单元质量矩阵
surface stress force 加载等效为节点力
对于一个PS4单元,假设有s条单元边收到单元表面力的作用。所以整个单元的等效节点力\(F_{trac}^e\)为:
对于局部坐标s有:
以 表面力P作用在3-4 edge为例子: