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Fem_Wilson非协调单元在PS4的推导

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Ps4单元的位移自由度:

  • 节点自由度:ux,uy

  • 单元自由度:\(\delta^e=[u1x,u1y,....u4x,u4y]^T\)

但是在承受弯曲载荷的时候,存在shear locking的问题。Wilson非协调单元通过在每个坐标方向上增加2个内部自由度,解决该问题:

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位移插值

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几何插值

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单元形函数

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应变-位移关系

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应力-应变关系

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雅可比矩阵计算\(J(\xi,\eta)\)

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最小势能原理推到单元刚度矩阵

以下是PS4单元的刚度矩阵推导:

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加入wilson内部自由度后,由于内部自由度不会影响外力功,因此只有修改单元刚度矩阵部分:

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进一步,将内部自由度凝聚:

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所以,Wilson非协调单元的刚度矩阵为:

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高斯积分计算单元刚度矩阵

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体积力等效为节点力

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单元质量矩阵

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surface stress force 加载等效为节点力

对于一个PS4单元,假设有s条单元边收到单元表面力的作用。所以整个单元的等效节点力\(F_{trac}^e\)为:

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对于局部坐标s有:

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以 表面力P作用在3-4 edge为例子:

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