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Note_Fem_C3D8单元公式

单元几何

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单元使用八节点，每个节点有三个平移自由度; 局部坐标使用(r,s,t)坐标系，r,s,t取值范围-1到+1；使用等参数单元推导刚度矩阵

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  • Hexahedron (brick) element faces

Face 1 1 – 2 – 3 – 4 face Face 2 5 – 8 – 7 – 6 face Face 3 1 – 5 – 6 – 2 face Face 4 2 – 6 – 7 – 3 face Face 5 3 – 7 – 8 – 4 face Face 6 4 – 8 – 5 – 1 face

  • 积分点布置（abaqus）

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单元刚度矩阵Ke

节点形函数为，ri,si,ti是节点i的(r,s,t)坐标值：

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几何插值：

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位移场插值：

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参考abaqus理论手册，一阶六面体也是用这个插值函数：

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应变分量推导：

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节点的应变微分算子为：

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使用链式法则推掉形函数对局部坐标的微分：

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J是雅可比矩阵，形式为：

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J进一步分解：

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形函数对r,s,t的偏导：

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至此B矩阵推导完毕

采用各向同性材料，则弹性矩阵为：

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单元刚度矩阵Ke的公式为：

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完全积分方案：每个方向上使用2个积分点进行积分，满足精确积分，共有8个积分点进行数值积分。

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单元质量矩阵

推导公式参见《计算固体力学》page289

  • 集中质量矩阵

集中质量矩阵的思路是将单元质量平均分配到每个节点自由度。因此：

单元总质量为：

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因此，单元质量矩阵为：

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  • 一致质量矩阵

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等效单元节点力

类似C3D4单元，针对热载荷，体积力(N/m^3)，作用在单元面1的面力N/m*m的等效节点力公式子为：

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静力分析问题公式

由C3D8组成的系统的静力分析问题，可以归结为求解下列公式，可以得到节点位移\(\{Q\}_{N\times1}\)：

\[ \sum_i^{el\ num} \{K^e \}_{N \times N}\{Q\}_{N \times 1}=\sum_i^{el\ num} P^e_{N \times 1} \]

动力分析公式，特征值问题见C3D4单元

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