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Note_Fem_0位移约束下的特征值问题求解

模态分析-解的形式

一般形式的动力学方程为:

\[ M\left( t \right) \ddot{u}+C\left( t \right) \dot{u}+K\left( t \right) u=F\left( t \right)\tag{1} \]

K,M,C,u都是时间t的函数.如果只考虑线性系统,那么这几个矩阵都是常数;本文讨论模态叠加法的第一步:模态分析求解.

模态分析可以提取系统固有特性,本质就是解特征值问题.只考虑无阻尼(C={0})则有:

\[ M \ddot{u}+Ku=F\tag{2} \]

此时,M,K为全局质量和刚度矩阵,此时没引入边界.

自由振动的解的形式为:

$$ {u}={x}sin(\omega t) $$ 其中,{x}是节点位移幅值.

解带入公式2,并F={0} 后得到广义特征值方程:

\[ (K-w^2M)\{x\}=\{0\} \]

求解该方程可以得到:\(w_i^2\)(特征值),x_i是特征向量.求解特征值方程的方法见文章Note_NAA_特征值问题数值解.md

按照约束分类: + 非0位移约束; + 0位移约束;

非0位移约束的处理比较复杂,本文只考虑0位移约束下的模态分析求解

公式推导

假设边界条件为\(u_j=0,j={consrainted dofs}\),基于公式2,对\(\{u\}\)进行重排序,同时对K,M划分子矩阵,具体操作参考Note_NAA_特征值问题数值解.md的Method1.可得:

\[ M\left( \begin{array}{c} \ddot{u}_p\\ \ddot{u}_f\\ \end{array} \right) +K\left( \begin{array}{c} u_p\\ u_f\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} F_p\\ F_f\\ \end{array} \right)\tag{3} \]
\[ \left\{ u \right\} =\left\{ u_p,u_f \right\} ^T \]
\[ \left\{ F \right\} =\left\{ F_p,F_f \right\} ^T \]
\[ K=\left( \begin{matrix} K_{pp}& K_{pf}\\ K_{fp}& K_{ff}\\ \end{matrix} \right) \]
\[ M=\left( \begin{matrix} M_{pp}& M_{pf}\\ M_{fp}& M_{ff}\\ \end{matrix} \right) \]

p,f下标分别表示约束自由度(位移值已知),自由自由度(未知),已知位移对应未知反力,未知位移对应已知节点力(0+力加载);

上式展开,并考虑\(u_p={0}\)后:

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至此,得到新的系统方程:

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考虑到模态分析为无阻尼自由振动,不需要F_f,因此新的特征值方程为:

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对于第i个模态,\(w=w_i,\{x\}=\{x_i\}\),则有全局节点自由度向量为:

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当进行质量归一化时应使\(x_i\)满足:

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模态向量具有正交性:

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代码实现

使用python进行方法验证,见文章Note_Py_模态求解代码实现01

参考资料:

  • 计算固体力学教材
  • 工程中的有限元法(Rao版本)