Note_NAA_基于模态法的多自由度结构的受迫振动计算

参考资料：《计算固体力学》、《matlab有限元结构动力学分析》等

这篇文章不会是详细论述，仅仅是一个简略的笔记。

受迫振动分析，也称稳态动力学分析(abaqus中)、频响分析、谐响应分析。

谐响应分析是研究不同频率的外载荷作用下结构的相应幅值。这里的外载荷是随时间按照正弦规律变化的，或同时施加，或同相位。

本文只讨论所有外载荷频率一致的加载情况，不同频率载荷作用需进行动力响应分析

假设结构受外载荷作用，在初始的一段时间内，存在一个瞬态反应。但是由于阻尼作用会逐步衰减，进入稳态反应阶段。稳态运动的频率和外载荷频率一致。谐响应分析主要是求解稳态阶段，不考虑瞬态阶段

谐响应分析的应用场景之一：求解大楼对其中的恒速旋转机械的响应。

simple case: SDOF

考虑最简单的单自由度系统：M-K-C系统。如下：

假设力加载P=P(t)是谐载荷,\(\Omega\)是圆频率（rad/s）,\(F_0\)是常数。

此时，单自由度系统的稳态位移响应为：

可以发现，位移响应落后于加载的相位角\(\alpha\), 振幅和\(F_0/k\)成正比【放大系数】，当beta接近1.0的时候就会发生共振，共振时候位移幅值只受到阻尼xi的限制，如果无阻尼，就会无限大。如果beta>>1.0 , 位移响应就几乎为0，因为载荷变化过快，结构没反应过来。

MDOF 结构和SDOF结构的行为在定性地来说，两者基本一致。求解多自由度结构的受迫振动，有两种方法：1）模态叠加法；2）模态直接法

首先，计算结构的动力特性【特征值/特征向量】，得到m个结构模态频率omega_i和对应的振型向量\(\bar{D}_i\) (i=1~m). 振型向量需质量归一化.

质量归一化：

其次，根据叠加原理及模态方程可以认为：

因此只要求出Z_i就可以计算出u(t)；利用模态坐标将载荷转换为模态载荷：

对于每个模态载荷，有：

这个方程的解形式：

最后，只要得到Z_i和D_i就可以知道频率\(\Omega\)下的位移峰值。

如果\(\Omega\)取值为一系列值，那就可以计算出稳态位移峰值随频率的变化。

某些谐响应计算可以用复数简化，以下不是严格的理论推导。

把谐响应方程改成：

如果阻尼为0，那么动力刚度矩阵就相当于刚度矩阵K的每个对角元素上附加一个负刚度\(-\Omega^2M_{ii}\). 这个时候如果\(\Omega\)和模态频率一致，就会造成动力刚度为0.

这个式子的缺点是：1）容易病态；2）耗时长。因此常用模态矩阵重写来克服这个缺点。

模态矩阵定义：

用模态矩阵转换节点位移/速度/加速度得到模态坐标Z_i(i=1~m),模态坐标是一个浮点数：

这样子谐响应方程就可以重写：

这样就可以求出结构的稳态响应幅值和圆频率\(\Omega\)的关系。